上一篇〈債券價格波動大解析〉介紹了債券價格的波動性質，今天把衡量價格波動的「方法」給補上，大家算是功德圓滿，對債券的價格波動有基礎的瞭解了。本篇希望可以把存續期間的概念講得淺顯易懂，但又不失深度！比較艱澀的數學推導，會放在文章的最末段，免得影響閱讀。
之前小黑也有寫過一篇〈債券的存續期間是什麼〉，本篇會更延伸與深入一些，大家不妨先複習一下。
衡量債券價格波動的方法有三種：（以下變動量都以△表示，變化率會標註%）
（1） PVBP基點價值（Price Value of a Basis Point）
PVBP的定義是：△價格/1基點。一個基點是1%的百分之一，所以是0.0001，縮寫是bps
（2） Yield Value of a Price Change
基本上就是把PVBP的定義倒過來，△殖利率（bps）/1元
（3） Duration存續期間
先看張圖
就是這個翹翹板/槓桿的概念，存續期間的存在，把債券殖利率每1單位的變動放大或縮小。
但是！存續期間有好幾種，談到存續期間時，要先講清楚是哪種存續期間？基本上可以分成Macaulay Duration& Modified Duration 兩種。
Macaulay Duration 存續期間
這就是一般泛指的存續期間，定義是：△債券價格%/△殖利率%。
也有人把Macaulay Duration當作是投資債券還本的時間，就如小黑之前說的：
其原理留到數學部分再解釋，基本上Macaulay Duration就是一個衡量債券價格波動的方法。
Modified Duration 修正存續期間
定義是：△債券價格%/△殖利率
跟Macaulay Duration比起來，修正存續期間的分母部分不是用%來衡量。因為一般我們都習慣用利率（殖利率）的絕對數字，而不是比率來衡量其變動。舉例來說，利率從1%升到2%，這個漲幅就是100%，好可怕阿！
利率在經濟體系中是一個level的概念，我們要看的是現在利率上升到什麼程度，對經濟帶來什麼影響，而不是去關注它漲了多少（又不是在交易利率衍生性商品）。
所以，修正存續期間用絕對數字來衡量債券的價格波動，相較Macaulay Duration是比較make sense的
複習一下上一篇介紹的債券價格波動特性，其他條件固定的情況下：
到期時間（maturity）越長，修正存續期間越大。
票面利率（coupon rate）越低，修正存續期間越大。
實務上的修正存續期間算法
因為有時去代數學公式算存續期間太麻煩，實務上我們會用上述式子來逼近修正存續期間，經驗證偏差非常非常的小，這種算法稱得上是方便快速又有效！
P0是債券的初始價格、P-是將殖利率向下微調1bps的價格（會上升）、P+是將殖利率向上微調1bps的價格（會下降）。
對於大多數讀者來說，將債券殖利率、價格波動特性、存續期間瞭解至此就已功德圓滿，但如果有像小丑一樣特別愛較真，非得鑽牛角尖不可的朋友，接下來就一起進入數學推導部分吧XD
Macaulay & Modified Duration數學推導
Macaulay Duration= △債券價格%/△殖利率%
要計算變化率的話，數學上就是針對yield去求一階導數
債券價格：
同時拿P針對1+y去求一階導數也是得到相同結果，dp/dy=dp/d（1+y）
將dp/dy乘以1/P就得到了修正存續期間：
分子的dP/P代表價格的變化率（%），分母的dy則是殖利率的變化量。
將修正存續期間的dy改成d（1+y），再把等號兩邊都乘以1+y，就得到了Macaulay Duration
當初是先求得Macaulay Duration，然後就如上面說的用單純的利率變動基點來衡量比較make sense，所以後來才求得Modified Duration。
上面提到有人將Macaulay Duration當作債券回本的時間，詳細看公式，會發現這是因為在票面利率的那一項，每個c前面都乘上一個時間t=n, n=1,2,…,n，本金M的前面也乘上一個n，代表說債券的每一期的現金流都被期數加權了（被t=1,2,…,n加權）。所以正常來說，存續期間不會超過到期時間（maturity）。
但事實上這是一個危險的看法，只適用於沒有隱含選擇權的債券。所謂的隱含選擇權就是債券的callable or putable provision，或者MBS這種可以提前攤還本金的權利。也就是說遇到會被call回、可以提前賣回、可以提前攤還本金的證券，修正存續期間可能會超過maturity，所以還是當作衡量價格波動性的指標比較穩妥。
針對有隱含選擇權的固定收益證券，有另外一個衡量價格波動性的存續期間，叫做有效存續期間（Effective Duration），之後再撰文分享。
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